只有具体，才能深入
 ——探寻儿童认识“分数意义”的新视角
 
 执教：杭州现代小学数学教育研究中心  唐彩斌     
 内容综述：
    对于小学阶段有关分数的学习，传统教材的内容编排大体分为两个阶段：第一阶段：借助直观图形和物体，把一个图形或一个物体平均分，用分数来表示相应的大小；第二阶段：把多个图形或多个物体看作一个整体，概括出单位“1”，认识分数的各个部分：分母、分子、分数线以及相应的含义。这样的教学编排，学生能比较快捷地了解分数的基本特点，认识各部分名称，对于分数有一个初步的感知。然而，也正是这样的教学安排，学生对于分数的认识仍然比较粗浅，很难感知到分数的本质属性。作为一种新的数，它和原有的整数之间有着什么联系？作为一种的新的数，它有一些什么新的特点？同样是，但是表示的意义却并不相同，这种分数的“无量纲性”怎样让小学生能够体验到？带着疑问和困惑，我们对整个分数知识体系进行了重组，大体分为三个阶段：第一段初步认识分数，借助直观，着重围绕进行学习。分数的初步认识不仅仅感受分数的含义，而且感受分数的基本运算。第二段感受分数的含义，从几分之一到几分之几；从单个“1”的均分，到整体“1”的均分。并引入用“归一”思路解分数应用题，以加深对分数含义的感受。第三段，沟通整数和分数的关系和区别，从单个物体的均分、多个物体的均分直到概括出单位“1”，借助分数所表示的具体数量理解分数的意义，感受到单位“1”的不同，相同的分数所表示的意义也不同，凸现单位“1”在分数中的重要意义。本文探讨的就是这个系列中的第三阶段，也是需要整体呈现分数意义的关键一课。
 教学目标：
 学生借助直观的操作和展示，沟通分数和整数之间的联系和区别，加深对单位“1”的理解，从而理解分数的意义；
 知道分数各部分名称及其含义，增强对分数的感觉；经历丰富的现实情境，通过具体的数量感知分数的丰富内涵，增强学生的概括能力和辨析能力；
 组织有趣的活动和选择合适的素材，激发学生学习的兴趣，感受数学在生活中的应用，在变化中渗透辨证的数学思想方法。
 教学过程：
 一.引发想象，导入课题；
 师：以前，曾经有人做过一个实验，出示一个数字0，问大人，“你们想到了什么”，然后问小孩，小朋友你们想到什么？结果你们猜：是大人的想法多还是小孩的想法多？
 生：小孩多。【不知学生说小孩多，是已有的经验，还是一种自信。是盲目取乐，还是有实力作证。】
 师：是啊，的确是这样。不过今天，在现场我们要来试一试。我们把观察的数改一改，看一看，我们的同学表现怎样？0改成1，看到1 ，你能想到什么？1能表示什么？
 生：1象一根木棒；生：1根旗杆……师：刚才你们都是从外形来描述它，它还能表示什么呢？生：1个人；生：1个班级，生：1个国家，……【学生的思路打开了】
 师：借助课堂现场的实景举例，1个话筒，1个教师，1节数学课，1个大礼堂……也可以是1个这样的小方块。【教师随手一拿，出示1个小方块】今天的学习就从这个小方块开始。
二、直观操作，回顾思考
1．沟通整数和1，分数和1之间的关系。
师：现在每一个人都有5个小方块，如果说用1个小方块表示1，那么怎样表示4？
生：学生摆出4个小方块。
师：1和4之间有什么关系？生：4是1的4倍。
师：能不能用一个算式来表示？生：1×4＝4
师：那么怎样表示？生：正在用尺量；生：用笔在画；生：对折再对折……
师：你们选择不同方法，都是把1个小方块平均分成了4份，这样的1份就是。那么和1之间又有什么关系呢？也能不能用一个算式来表示？生：1÷4＝。
师：刚才其中的1份你们用来表示，那么剩下的那部分呢？生：
师：那么1和之间有怎样的关系？生：1÷4×3＝×3＝
师：看来，整数和1之间有关系，分数和1之间也有关系，它们的关系怎样？生：好像不太一样。
【反思：这是一种对数的感觉，对于小学生，我们还不要求他们能说出整数是1的累加，而分数是对1的均分。当然，学生如果能说出一些相关的特点，那已是更好了。比如：整数都是1个1个加起来的；分数都是要把1平均分的。】
2．均分对象的拓展。
师：刚才在拼的时候，除了把1个小方块平均分之外，还有其他的表示方法吗？
生：把4个小方块拼在一起拼成一个完整的大正方形，其中的1块就是整个图形的。
师：现在你是把由4个小正方形拼成的大正方形看作一个整体，不过，老师发现你这个手一直在动，你是不是觉得总有点没有拼完整，生怕不是一个整体？
生：（微笑，手还是在不断的拼,他已经把小方块都放在一个本子上）。
师:（顺手抬高本子，然后，故意让其中的小方块散开，滑落）现在，还能表示吗？
【反思：在这个过程中，均分的对象逐渐转变，由具体变为抽象。单个物体、多个物体拼成的整体转变到把多个物体看作一个整体。】
生：（沉思）还是可以的，把4个小方块看作1个整体，其中的1块可以用表示。
师：一定是其中的1块吗？生：只要这样的1块就行的。
【“其中”，这个词是很多教师和学生在认识分数时最习惯表达的，但这样的表达是不够完整的。之所以要给学生5个小方块，也力图为学生理解“这样的1份”提供足够的学习空间。把4个小方块看做1个整体，另外的1个小方块也是这个整体的，不一定是其中的1块。】
3．师：看来我们在表示分数时，不仅可以把1个图形看作一个整体，我们也可以把多个图形看作一个整体，除了这些以外，还可以把什么看作用来平均分的整体呢？让我们一起去生活中看一看。
【反思：设计课堂教学时，创设合适的情境成为教师设计的一个关注点。那么到底怎样的情境才是适合学生学习数学的情境呢？情境是不是一定是生活情境？是不是一定是故事或童话呢？不一定。联系生活，充满童趣不应成为数学教学情境的根本元素，一个好的数学情境是能激发学生学习的兴趣，启迪学生提问和思考的情境，类似本节课的情境，就是一个操作化的情境，就从1个小方块开始，学数学就从玩方块开始，蕴涵数学的奥秘和美妙。】
三．联系生活，认识分数的意义
 1．出示生活中的分数，引导学生，看一看，说一说；把什么看作一个整体，平均分成多少份？表示这样的几份？
 （1）活动中的分数：中国象棋；
  第1副棋盘上，红棋子占，
 第2副棋盘上，红棋子占。
 生：把棋盘上的棋子看作一个整体，平均分成2份，红棋子表示这样的1份；
 生：把棋盘上的棋子看作一个整体，平均分成17份，红棋子表示这样的8份；
 【反思：这是一个下象棋的过程，之所以选择这样的素材，一方面是因为素材离学生的生活近，另一方面，中国象棋本身是一种民族的素材，是一种民族文化的渗透和传递。在这方面很值得我们进一步探索，一个渗透民族文化的数学学习体系有待创建。】
 （2）网络上的分数。
 中小学生的睡眠状况让人担忧，约有2/3的小学生和3/4的初中生睡眠严重不足！中国青少年研究中心副主任孙云晓公布了当前青少年生活习惯研究的一些数据。
 师：把什么看作一个整体，平均分成多少份？表示这样的几份？
 生：把所有的小学生看作一个整体，平均分成3份，睡眠严重不足的有这样的2份；
 师：你们的睡眠时间足吗？生：不足。【几乎异口同声，这是怎么回事？】
 师：有谁知道小学生睡眠时间多少才算不足？生：10 时。
 师：初中生的睡眠情况怎样？我们也来关心一下他们。生：把所有的初中生看作一个整体，平均分成4份，睡眠严重不足的有这样的3份；生：初中生更可怜了。
 （3）报纸中的分数。
 师：杭州的房产一直备受关注，现在二手房市场也日趋火爆。到底怎样的价位的二手房最抢手呢？我们来看一则报道。
 信息：《今日早报》3月13日，8版，标题：60万元二手房最抢手；据报道，从三月第一周的成交结构看来，总价在60万元以下的二手房成交量占总成交量的3/4。
 生：把总成交量看作一个整体，平均分成4份，总价在60万以下的二手房成交量有这样的3份；
 （4）电视里的分数。
   师：你们看这是谁呀？生：温总理。
 师：是啊，这是国务院总理在作今年的政府工作报告，有一个分数备受人民的关注，听说这个分数是关系到整个国家的社会发展和人民生活的状况。我们来看一看。
 信息：中央电视台，3月5日，综合考虑国内外各种因素，
 今年经济社会发展主要预期目标是：增长部分将占
 去年国内生产总值的8/100左右。
 师：你们知道这个8/100是什么意思吗？
 生：【开始有点困难】把经济社会发展……
 生：不对，把国内生产总值看作一个整体。
 师：能更明确吗？生：去年国内生产总值；
 生：平均分成100份，增长的部分表示这样的8份。
   师：听的出来，我们对这个分数的了解是粗浅的。包括老师在内，对它的了解也是有限的。国内生产总值简称GDP，听说GDP是衡量一个国家富有程度的重要标志。至于它的内涵，以后我们慢慢会了解的。
【反思：信息的获取的途径分别是网络、报纸和电视。简单看来，这是一种外在的表现形式，但其实质也不容小视。从培养学生信息素养的角度看来，从不同的渠道获取信息本身也是一种需要促成的技能和素质。这也是数学课程标准所关注的一条具体目标。同时，从多种媒体都能获取分数的信息，也说明分数在生活存在的广泛性和普遍性。】
（5）概括分数的意义；
   师：刚才，我们从身边的活动中，通过网络、报纸、电视知道了很多的分数，那么到底什么是分数呢？
   【结合板书】我们把用来平均分的整体，用一个词来概括，叫做单位“1”，用来平均的份数，也用一个词来概括：平均分成若干份，表示这样的1份或几份，这样的数就叫做分数。
   教师板书：
         把什么看作一个整体，平均分成？份，表示这样的？份
           所有的棋子                2                1
           所有的棋子                17               8
           全国小学生                3                2
           全国初中生                4                3
           所有成交量                4                3
 去年国民生产总值          100               8
          ……                      ……              ……
           单位“1”        若干份               1份或几份
 （6）说意义。
知道分数的意义，我们再来看和，它们分别表示什么意思？
生：把单位“1”平均分成4份，表示这样的1份。生：把单位“1”平均分成4份，表示这样的3份。
师：这个分数，到底有些什么具体的意义呢？我们来看一看。
四．借助具体，深入感知；
 1．一块地的面积是200平方米，这块地的种黄瓜，黄瓜地是多少平方米？
师：现在是把什么看作单位“1”，平均分成几份？怎样求这样的1份。
生：列式计算：200÷4＝50（平方米），
师：我们也可以用分数来表示黄瓜地的大小，怎样表示：。
 【反思：虽然学生已有相应整数解决问题的基础，但用分数表示结果，既可以沟通分数和除法之间的关系，还可以借助书写外形，强化分数的意义。一看到，就知道把200看作单位“1”，平均分成4份，表示这样的1份。从解决这个问题的角度看来，可以只用整数的“归一”方法来解答，但从巩固分数意义的角度，用分数的形式来表示这样的1份，有一定的必要。】
2．（1）一块地的面积是200平方米，这块地的种黄瓜，黄瓜地是多少平方米？
 （2）有黄瓜180千克，用来制作黄瓜汁占，制黄瓜汁的黄瓜有多少千克 ？
     组织讨论第（1）题：
 生：200÷4×3＝50×3＝150（平方米）
 师：1份是多少，我们也可以用一个分数来表示；
 生：200÷4×3＝50×3＝150（平方米）；生：200÷4×3＝×3＝＝150（平方米）
 【反思：分数乘整数，如果有相应基础，可以先用分子乘整数再除以分母，为分数乘整数做准备。与前面的准备题沟通联系，本来单位“1”的位置代替的就是具体的量。实现单位“1”的具体化。】
组织讨论第（2）题：
 生：180÷4×3＝45×3＝135（千克）
 生：180÷4×3＝×3＝＝135（千克）
     师：从这两个问题的解答中，你发现了什么？
 生：都有“÷4×3”；师：为什么？生：因为都有
 师：有什么不同？生：最后的结果不同，师：为什么？生：单位“1”不同。
 【反思：相同的分数，但所表示的实际不尽相同。凸现单位“1”对于分数的重要意义。这也是分数无量纲性的具体表现。】
3．师:其实在生活中是很多的，我们可以用一个常用的搜索软件google来搜索相应的分数。
 [电脑输入“3/4”，0.22秒出现3310000条信息]，呈现部分如下：
我国每年100万的死亡人中，有死于烟草所致的疾病，切记吸烟危害健康！
三峡库区淤泥来自重庆境外；
朱培康委员：农民没接受过技术培训；
中国就业职位的在个体、私营企业；
美国圣诞树 中国造；
2003年全国广告投放145亿美元，广告被电视垄断；
微软大幅削减福利以实现节支目标 员工不满；
韩国国民支持通过说服朝鲜解决核问题；
世界粮食组织:仍有海啸灾民未得到食物援助；
粮农组织说全球海洋渔业储量已有被完全、过度开发或枯竭；
英国的成人使用计算机；
……
师：选择你感兴趣的介绍给大家。生：选择介绍……
师：尽管都有，但所表示的意义是不同的，因为：生：单位“1”不同。师：看来单位“1”在分数中真的很重要。单位“1”变了，结果也会变化。
【反思：信息技术的巧妙应用，体现了同一分数不同的意义。充分体现了信息技术的优越性，凸现网络的特性。】
4．口答：都是；
 教师现场组织提问：这个小组的，几个人？【指4人小组】这个大组的【指8人的小组】,这个班的？【如果是单数加上上课的教师】，会场所有人的？[大多数学生不知道，引导估算]全国人口的，有多少人？全球呢？
 师：你有什么发现？
 生：同样是，单位“1”不同，所表示的数量也不同。
 五．组织练习，巩固发展：
1．基础性练习：看广告提问题；
  广  告
 绿岛花园，座落在钱江南岸，小区面积共20000平方米，共10幢楼房，有高层和多层不同的楼房，共600套，绿化面积占3/5,现在入住的占3/5，小区环境优美，深受欢迎。还有少量余房，有意者请来电咨询。
     联系电话：0571－8220888
                                          绿岛房地产开发有限公司
                                               2005年4月
（1）看了这则广告，你能提出什么问题？
（2）你发现了什么？
生：绿化面积有多大？生：现在入住的有多少户？
师：组织学生练习，进而强调：相同的分数，不同的单位“1”，分数所表示的含义不同。
【反思：提问能力的培养并不是一定根据课前导入的情境图才能提问，提问是一种意识，应当逐渐成为学生学习数学的一种习惯。只有这样，问题意识才是学生自发，而不是总在教师的指引之下一种形式上的提问：为问而问。所以，在练习的环节，也引导学生提出问题。】
2．综合性练习：生活情景题：
 体育课下课了，你和另外两个同学都很渴，前面有3杯饮料，他们让你先挑，你挑哪一杯？（图略）
 （1）总量500克，装了；（2）总量500克，装了 ；（3）总量600克，装了；
  生：我挑第2杯，因为第2杯最多。
 生：和第3杯一样多的。我挑第3杯。
 师：看来，你们想挑最多的。那么，每一杯到底各是多少呢？
 生：第1杯100克，第2杯300克，第3杯也是300克。
 生：我挑第1杯。师追问：为什么？
 生：另外两个都是好朋友，我让他们一样多，我自己少一点。
 师：礼让，是一种美德。
 【反思：“你挑哪一杯”是一个生活化的问题，但是解决的过程却是数学化的过程。这也是数学联系生活的一种方式。从生活的角度看，无论作出怎样的选择都是可以的，但作出选择的基础工作都是计算出每杯的质量是多少？在设计时，还试图渗透：同样的单位“1”，不同的分数表示不同的数量；不同的单位“1”，不同的分数，却是表示相同的数量。为学生的思维发展营造适当的空间。】
3．开放性讨论：国外趣题
 有两个人，每人都有1000元钱，从其中的一个人那里拿500元给另外一个人。在这个行动中，因为得到的人增加的财富是他所有财富的，而失去者的损失将是他原来财富的，所以这一行动所产生的结果：快乐少，痛苦多。
    这是西方学者研究的结果，你知道这两个分数是怎么得来的，这个观点有道理吗？
 生：得到的人增加的财富是500元，他所有的财富是1500元，所以得到的人增加的财富是他所有财富的；生：失去者的损失也是500元，他原来的财富是1000元，所以失去者的损失将是他原来财富的；
 师：同样的钱，怎么会产生不同的分数？
 生：单位“1”不同。
 师：你们觉得这个西方学者的观点有道理吗？
 生：没道理，钱是一样的，快乐和痛苦的感觉应该差不多的。
 生：不一定的，万一这个失去者原来还有很多钱呢？
 生：……
 师：对于观点，可能是仁者见仁，智者见智，但有一点是值得我们学习的，那就是把数学用来解释生活中的现象和道理。今天我们也学学他们，用分数对今天的学习做一个评价？
 【反思：这道题源于张奠宙教授的一次讲座，之所以应用到课堂，不是向西方学者学习这种“钻研”的精神，但他们用数学来表达生活中的伦理，这种表达的意识是值得我们学习的。在课堂上，除了唤起学生数学表达的情感，还难能可贵地听到小学生对西方学者观点的批判，这种勇气是值得鼓励的。不崇洋媚外，敢于表达自己的观点。】
 三．自我评价，课堂小结：
    1．通过今天的学习，你觉得你对于分数的认识有了哪些变化？
 2．大家到底学得怎么样？我们就用分数来做一个评价。【现场填入评价表。】
 通过今天的学习，有的学生觉得自己学得很开心，有的学生觉得自己学得很不错。
 3．师：你看，再学习评价的时候也需要用到分数，分数真是无处不在。就让我们一起去生活中寻找更多的分数，了解更多的意义吧。
 【反思：学习评价是课堂教学的一个环节，应用分数又是巩固学习内容的一种方式，而在这一环节的设计完美地把两个因素结合在一起，既是对学习内容的应用，又是对学习的自我评价。】
 
 字数：6749；
富有时代气息的一堂课
张梅玲 教授（中国科学院心理研究所  博导）

 今年四月初我有机会在杭州听杭州现代小学数学教育研究中心唐彩斌执教“分数的意义”一课，这节课的重点是沟通整数和分数的关系和区别，从单个物体的均分、多个物体的均分知道概括出单位“1”，借助分数所表示的具体数量理解分数的意义，感受单位“1”的不同，而相同的分数所表示意义的不同，凸现单位“1”在分数中的重要意义。整个师生之间富有活力的生动真切的课堂互动，让我感到兴奋，甚至激动。从内心情不自禁地发出这样的赞叹声：“多好的学生，多好的教师呀”“多么富有时代气息”。这种教师真切而全身心的投入、学生的积极主动地思考的教学情境，我认为才是教与学的真实的美。
在童趣的引入中切入。
 一堂课的开始，老师如何以最快的速度激发学生学习的需求，这种激发既固有童趣又能切入到本节课的重点，以创设课堂教学良好的心理环境。唐老师在这节课中应用0和1对于儿童和成人不同的想象作为引入。看到“1”，学生开始是从外形上来说“像一根木棒”“像1根旗杆”。在老师的启发下，学生逐渐打开思路，说“1个人”“1个班级”“1个国家”，应该说这节课的切入又快又准。
在开放的操作中感悟。
 学生的发展需要又自己的空间。从这堂课的设计与教学实际情境可以看出，教师允许学生用自己喜欢的办法来表示1/4（有的学生用尺量，有的用笔画，有的用纸折）。在学生操作的感悟中，唐老师还十分重视操作活动的数学化，促进感悟的深化。给每个学生5个小方块，下面是师生的一段对话。
师：现在每一个人都有5个小方块，如果说用1个小方块表示1，那么怎样表示4？
生：学生摆出4个小方块。
师：1和4之间有什么关系？生：4是1的4倍。
师：能不能用一个算式来表示？生：1×4＝4
师：那么怎样表示？生：正在用尺量；生：用笔在画；生：对折再对折……
师：你们选择不同方法，都是把1个小方块平均分成了4份，这样的1份就是。那么和1之间又有什么关系呢？也能不能用一个算式来表示？生：1÷4＝。
师：刚才其中的1份你们用来表示，那么剩下的那部分呢？生：
师：那么1和之间有怎样的关系？生：1÷4×3＝×3＝
师：看来，整数和1之间有关系，分数和1之间也有关系，它们的关系怎样？生：好像不太一样。
    ……
     我们可以看出，这段简练的师生对话所显示的是：教师紧紧抓住了1和整数、1和分数之间的关系，并重视用算式表示（数学化的一种形式），这就使在操作基础上的感悟有了深度，从而明显地从学生地操作的角度上来体现出课的重点。
在多角度的感知中理解。
 教师通过让学生观察中国象棋的棋盘、网络上的分数、报纸上的分数、电视里的分数，更值得指出是教师所选用的内容有中小学生的睡眠时间，二手房交易信息及总理的政府工作报告。教师充分应用了现代媒体的优势，真真切切、实实在在、丰富多彩地展示了分数在生活中的意义。这不仅深化了学生对分数的理解，而是自然地受到多方面的教育。现代技术的应用如此自如、得当，让人从内心感到了现代教学技术的优势。
在网络工具的巧用中实践。
 实践是学生对概念理解和深化的必要步骤。唐老师充分应用了网络工具，他以3/4为例，教师告诉学生常用搜索软件Google来搜索相应的分数，在课堂上，教师输入3/4，【电脑在0.22秒的速度呈现了3310000条信息。】教师在课堂上呈现了其中的一部分，如：
我国每年100万的死亡人中，有死于烟草所致的疾病，切记吸烟危害健康！
三峡库区淤泥来自重庆境外；
朱培康委员：农民没接受过技术培训；
中国就业职位的在个体、私营企业；
美国圣诞树 中国造；
 ……
 教师又让学生选择自己感兴趣的给大家讲一讲，这样既让学生受到教育，又深化了对3/4的理解，真切而深刻。
 五．在生活化的练习中巩固。
 课的练习环节，教师的基础练习是看广告提问题，综合练习用的是学生口渴喝饮料的生活情景题，这种练习设计既激发学生的兴趣，又体现了练习的层次及思想品德教育的自然渗透。
最后，我想说的是：唐彩斌是一名青年教师，但他对课堂教学的新探索，不仅有热情，而且有行动，不仅有理念，而且有实践。我想面对新课程标准的实施，我们每个教师都应该从我做起，如实地反思昨天，自信地面对今天，理智地展望明天。