数学与文化

为何将数学视为一种文化，而不仅仅视为一门学科，或者是科学？这里基于两方面考虑。

首先，文化涵盖所有科学，而数学恰恰具备这种广泛的涵盖性，尤其表现在它的原创性和应用性方面。数学具备了“大文化”概念所具有的“真”(真理化)、“美”(艺术化)、“善”(道德化)，体现了一种精神的显现。数学作为文化，还在于它表现了一种前所未有的探索和开创精神，它提供给人们的不仅仅是知识体系和思维模式，同时又是一种有力的解决问题的工具和武器，既反映了思维上的合理性和价值取向，又拓展了人们的思想解放之路。

其次，既承认“数学是一种文化”，再提“数学文化”，岂不是有语词重复之嫌？我们的理解是：这里，我们更愿意视其为一种意义的重申和叠加。返观当下的数学课堂，原本属于文化范畴的数学，如今正渐渐丧失着它的文化性，变得不那么“文化”了。教育语境下的数学，已经开始和文化背道而驰，并沦落为一种“非文化”、“反文化”的东西。对数学知识积累、数学技巧训练等工具性价值的过分关注，正在使数学本该拥有的文化气质和气度，一点点剥落、丧失，并逐渐成为数学教育遥不可及的乌托邦。“让数学变得文化些，还数学以文化之本来面目”，已经成为我们数学教育亟须关注、思考和探索的问题。

近年来，关于数学文化的思考越来越热，相应的理论探索和实践研究也从各个层面、各个角度轰轰烈烈展开。作为对这一数学文化热的冷思考，我们需要透过现象看到更多关于数学文化的本质，即究竟什么才是真正意义上的数学文化，它的实践层面该以怎样的姿态出现，又将给数学课堂带来怎样的影响。在本章中，我们将就这样一些问题进行一些初步的思考。

　“真善美”是数学文化之本

一、情景呈现

案例（一）：“轴对称图形”

“轴对称图形”一课，一位教师引导学生先通过观察判断三角形、平行四边形、梯形、五边形和圆中哪些是轴对称图形，哪些不是，大家的结论各不相同。

“究竟该听谁的？”教师试探着问。

“听我的。”

“听我的。”

“课代表说得有道理。”

“还是听老师吧。”

正当大家莫衷一是时，一个小小的声音从角落传来，“动手折一折不就知道了？”一刹那，大家恍然大悟，纷纷表示赞同，并投入到动手操作验证的过程中来。不一会儿，结论公之于众，无人异议。

教师启发思考，“争论的最后，我们听信了谁？为什么？”

“听信我们自己。”

“不，是听信实验的结果。”

“听信了真理”……

“数学学习中，没有谁是权威，真正的权威就是数学本身，因为数学本身就是真理的化身。”一席话，让每一位学生频频颔首。

即时思考：

数学中的每一个结论都不可能带有任何个人感情色彩，它是纯客观的存在。数学可以确切地告诉我们，什么才是正确的，并且这种正确性是如此的不容质疑。从这一角度看，数学除了可以给予我们知识和方法，更可以借助存在于数学中的“真”，培养人们正确、客观地认识我们生活的世界，建立起人们对确定性、真理的最初印象。尽管，我们很难说清楚，这些印象究竟是借助哪些知识或方法的授受而得以建构的，准确地说，它是数学学习日积月累后的耳濡目染，是对日常数学活动经验的积累和自然升华，但这并不排除我们可以借助数学教育过程中有意识的引导和点拨，使学生能更加清晰地意识到数学的这种确定性，进而增进其对数学真理性的认识和信任。上述案例表达的正是这样一种思考。

案例（二）：“长方形的周长练习”

教学“周长20厘米的长方形（长、宽均为整厘米数），它的面积是多少平方厘米？”面对开放的问题，两位教师不同的教学思路值得我们深思。

教师A引导学生交流各种不同答案，并适时鼓励学生，“有时，问题的答案并不唯一，我们应学会从不同角度思考问题。”教学至此，似无可挑剔。

再看教师B的处理：

“找到一种答案并不难，难就难在能否按顺序找出所有答案？”

“观察这里的长、宽，再比较它们的面积，你发现了什么？”

“如果周长不是20厘米，这一结论还会成立吗？举例试一试。”

“倒过来，面积相等的长方形，它们的周长又会有怎样的规律？也来动手试一试。”

“回顾这一研究过程，它给了你怎样的启示？”

即时思考：

不同的思路，背后支撑的是不同的教学思考。教师A也关注到了思维的开放性，但对思维的引导点到为止、浮光掠影。而教师B却透过问题本身，“看”到了问题内涵着的更加深刻的思维引导价值，从思维的有序性到规律的有效探寻，从逆向思维的蕴伏到元认知能力的引导，其间所表现出的对于学生深层数学思考的关注，对于学生思维有序性、深刻性、逆向性、拓展性、批判性等的有效指导和渗透，是教师A所无法比拟的。而这，恰恰才是数学文化价值的本意所在。

案例（三）：“周的周长”

认识圆周率的第二天，教师给学生们带来了《圆周率的历史》一书。大家都惊讶了：“一个小小的圆周率，值得写一本书？!”

带着疑惑的探究的冲动，他们打开了这本书。于是，从圆周率诞生的时代背景，到最初的“三倍多一些”，再到后来的“3.14”，进而到“3.1415926到3.1415927之间”，及时后来的“小数点后面几十位、几百位、几千位”，乃至于今天利用计算机算出圆周率小数点后面的一万多亿位，这是何等惊人数目!其间还兼论了东、西方人对圆周率持有的不同学术兴趣及运用范围等，对于大家，这是知识和思想的盛宴。

正当大家沉浸于惊讶和慨叹之中时，教师突然提出一个问题，“在几乎没有任何实际意义的前提下，是什么力量驱使着人们一次次实现着圆周率小数位数的超越？”

稍作思考后，没想到学生们会有如此精妙的回答：

“我以为是圆周率本身所具有的神秘魔力。”

“人类对于数具有一种天然的兴趣。”

“是人类对数的好奇心引导着他们一次次实现超越。”

“我想，应该是他们对智力极限挑战的一种强烈渴望吧。”

学生的回答让教师兴奋不已。毕竟，这些感受和猜度已经接近于事实本身，而这些较之于“祖冲之最早……”显然更有意义和价值。

即时思考：

越来越多的人开始注重数学史的教育，这是好事。然而，盲目的攀比、狭隘的民族主义，尤其是过分强调个别发明的领先权时常蒙蔽了我们的眼睛，让我们不能以更加客观、理性的态度对待数学的历史文化。其实，数学史留给我们的远不止这些。“数学的本质在于自由创造”，回顾数学发展的历史轨迹，从永不满足的探索精神，到为数学献身的高贵品质，从数学与人类社会错综复杂的交互关系，到数学对于其它科学发展的支持等，一部数学发展的历史，就是人类不断超越自我、在否定中寻得思想的自由创造的过程。上述真实、精彩的师生对话，谁能说没有在学生细小的心灵上播下数学精神的文化之种呢？

案例（四）：“数学与规律”

一位教师和学生探讨“32名同学参加校乒乓球淘汰赛，决出最后的冠军共需赛多少场？”充分的思考和尝试后，学生给出了丰富多彩的答案。

生1：我们进行了详细列举，第一轮比16场，第二轮比8场，第三轮比4场……

生2：（匆忙打断生1的发言）我有一个发现！每一轮的场数总是上一轮场数的一半，所以不用再往下列举，我们也能知道一共要比16+8+4+2+1=31场。

师：能善于从别人的发言中发现规律，并巧妙地解决问题，真不错！不过，草率地打断别人的发言，可不太好哦。

生2挠了挠头，以示惭愧。生1也表示，生2说的其实就是他们小组的发现。

生3：我们组的想法和他们不同。我们觉得32人太多，思考起来有点困难。于是我们从较小的数着手分析。通过研究，我们发现2人需赛1场；3人需赛2场；4人需赛3场……不管多少人赛，场次总比人数少1。所以我们推断，32人共需赛31场。（不少同学情不自禁地报以热烈的掌声）

师：你们这一方法的最大可贵之处在于，它告诉了我们，任何复杂的问题都可以从简单问题入手，“化繁为简”常常能为我们解决复杂问题找到捷径！

生4：受他们的启发，我突然觉得，每比1场，就一定会淘汰掉1个人。现在冠军只有1名，那么毫无疑问需要淘汰32－1＝31人，也即共需要比31场。（稍作思考后，全体同学均报以热烈的掌声）

师：你们的掌声说明了什么？

生：我觉得这一方法太妙了。

师：没错，他巧妙地将比赛场次和淘汰人数之间建立起一种联系，从而换一角度巧妙地解决了这一问题，可谓别出心裁！

即时思考：

三种方法都顺利解决了问题，但细细琢磨，其间的差别值得玩味。方法1固然可行，但繁琐异常，数目一旦增加，则计算量更大；方法二看似只是“推断”，但其间蕴含的难能可贵的化大为小的转化思想、数学建模的初步意识等，都无不彰显了数学思考的魅力；方法3更是让人拍案叫绝，巧妙抓住“淘汰人数”和“比赛场次”之间的内在关联，巧妙地从数学角度审度问题结构，从逆向角度给出问题的简洁解法。如果说色彩与音符是艺术美的元素的话，那么如此简洁、奇异的数学方法和数学思考，折射出的不正是数学内在的美吗？

二、诊断分析

纵观上述案例，笔者以为，数学的文化属性不但真实存在，而且可以通过数学教学实实在在地渗透给学生，并转化为学生认识世界、思考问题的精神力量。具体来说，这种文化属性主要通过三个维度来实现，那就是真、善、美。

首先是真。数学作为科学的共同语言和最高表现形式，无论是它的内容、方法、思想，都以其真实、确定而成为人们思考、解决问题时值得信赖的东西。对于强化人的理智感，丰富人的理性精神，提升人的理性能力等具有其他学科所不可替代的价值。正如法国数学家波莱尔所言，“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一一门科学。”人们历来对数学的真理怀有一种敬畏和信任，这是数学真理性的真实体现。数学有一个严密的逻辑体系，数学中绝不允许任何虚伪和荒谬的存在。犹如在文科学习中，“一千个读者就会有一千个哈姆雷特”，而在数学上，1就是1,2就是2,3＋4的结果只能是7，而方程5＋x＝10也不可能出现第二个解，这些都是千真万确的真理！而案例（一）传递给我们的，也恰恰是这样一种思考。

如今，越来越多的人开始怀疑数学学习的价值。他们固执地以为，生活中用到的只是简单的算术知识，数学给予的其余一切纯粹只是智力游戏，无任何实际意义。这是对数学价值的曲解。数学知识、技能固然能帮助我们解决一些实际问题，但数学的更大价值在于，它为我们提供了一种不同于日常思考的新的思维方式。这种思维方式为我们正确认识客观世界提供了新的工具和视角，“……它使人们能批判地阅读，能识别谬误，能探察偏见，能估计风险，能提出变通的办法。数学能使我们了解我们生活在其中的充满信息的世界”。案例（二）中，教师对于学生思维有序性、深刻性、逆向性、拓展性、批判性等的有效指导和渗透，案例（四）中三种不同方法之间的逐层深入以及由此带来的对学生数学思考的启迪等，恰恰是上述观点最为生动的例证――作为一种文化，数学还是可以有所作为的！

其次是善。一直以来，人们普遍认为，数学命题是事实判断，道德命题是价值判断，不可能从事实判断中引申出任何价值判断来。因而对数学教育是否具有伦理价值，大家一直持否定态度。然而，这一观点终究只看到了数学静态和终端的一面。和其它任何精神产品一样，数学同样是人类的一种独特创造。是创造，就必然浓缩和承载着人类的精神追求和品质。抛开数学客观的一面，如果从动态、活生生的数学历史演变过程看，数学本身所具有的道德力量同样丰富而巨大。作为探索真理的事业，数学造就了一种人文化的独特人格气质，一种负责的人文精神：不懈地探索真理、坚持真理、为真理献身。它包含尊重事实、实事求是的求实精神，勇于怀疑、自我否定的批判精神，勇于创新、超越现状的创造精神等。所有这些，都以特定的形式内化并沉淀在数学的内容及思想方法之中。正如著名数学教育家M.克莱因所说：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”只是同人文学科相比，其中的道德力量更为内敛、含蓄，更需要教师借助一定的教学手段进行开掘和彰显，使其成为一种显性的教育影响，催化学生的行为规范与价值取向。

案例（三）涉及的是一段人尽皆知的数学历史，然而这位教师在处理这一内容时，没有将视角仅仅局限在历史资料的传递和简单的爱国主义教育上，而是通过一个有意味的问题“在几乎没有任何实际意义的前提下，是什么力量驱使着人们一次次实现着圆周率小数位数的超越”唤醒了学生对于这一问题另类的解读和思考，学生精彩的回答恰恰是我们探讨这一问题的最为生动的例证。

当然，数学作为文化还在于它表现了前所未有的探索精神。回顾数家族的扩张，日常生活所需使人们一开始相信，正整数就是数的全部。随后“0”和“负数”的出现使数的版图扩张到了整数范畴；由于测量和复杂计算的需要，小数和分数应运而生，数的版图进一步得到扩张；正当大家以为有理数就是数的全部时，单位大小的正方形的对角线长度撼动了整个数学大厦，无理数诞生了；然而，谁又能说这就是数家族的最后版图？

此外，矛盾统一、量变质变、相对绝对的辩证思考，以人生之有涯求数学之无涯的人生启迪，淡化实用功利之追逐、谋求纯粹智力之欢愉的生命境界，这些都是数学可以给予的重要启迪。有人说，如今的数学教育所培养出来的人，染上了明显的趋利性、工具性色彩。他们虽然熟练掌握了数学的知识与技能，但他们未必真正地“理解”数学。上述思考，多少给予我们一些新的感悟。

再谈谈美。许多伟大的科学家、数学家都非常热爱艺术和音乐，正是这种艺术的气质，孕育了他们的科学审美力，使他们成为科学领域的巨人。由此看来，美从来就和数学存有千丝万缕的联系。数学很美，无论是它的内容、方法、思想。只是这种美“正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美……没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”正因为冷而严肃，所以它更需要我们去发现、探究、转化，使其以一种温和而亲近的性格，走进我们的数学课堂，并转化为学生的审美品质和涵养。就以案例（四）为例，初看起来，似乎只是同一个数学问题的三种不同解法，但细细琢磨，每一新的解法的出现，无不引起了学生强烈的审美体验，这种体验源自于解题方法的简洁和美妙，源自新的解题思路及结构的和谐与独特。这是一种比视觉、听觉享受更为内敛、深刻的美感体验，尽管难以把握，但一旦为学生所捕获、所体验，则将形成更为强烈的审美冲击与更加持续的审美动力，对于丰富学生的审美经验、提升学生的审美素养有着其它学科所不可替代的作用。

而且，我们有足够的理由相信，类似的数学美普遍存在于一切数学内容之中，这里，我们无须动辄提及数学中的黄金分割，也无须固守着圆和轴对称所能带来的视觉美感。美几乎流淌于数学的每一个细胞之中。只是有时，我们因为缺少发现，而一次次和数学美失之交臂。细细想来，自然数无穷无尽，但再多的数，却只需用10个字符即清楚表达!谁能说，这里没有蕴藏着数学的符号美!等距的平行线间，记下随机投下的小棒根数和与平行线相交的小棒根数，也许你怎么也没想到，两个数据之间的比值竟会越来越接近π！谁能说，这里没有蕴藏数学的奇异美!要想不重复地走过哥尼斯堡的七座桥，需要尝试的走法可谓数不胜数，面对棘手的数学问题，“将岛抽象成点，将桥抽象成线”，原本复杂的数学难题竟转化成了数学上显而易见的“一笔画问题”。谁能说，这一优美的解法之中没有蕴藏数学的抽象美和简洁美!简简单单一数列：1、1、2、3、5、8、13……要找出其中的规律并不难，然而，不妨随机写出数列中相邻的两个数，算出前后数的比值。哇，越往后，这个比竟然越来越接近“黄金分割比”！这当中，又具有着怎样让人捉摸不定的和谐美!

当然，数学美如果仅仅停留于被动欣赏的层面，那就不能称其为文化了。正如苏霍姆林斯基所说，“应该教会儿童从周围世界的美和人的关系中看出精神的高尚、善良和诚恳，并在儿童自己身上确立这种美”。对于儿童的精神和文化成长，数学美和其它一切美育因素一样，具有着激励、召唤、熏陶和点化的积极意义。

有时，儿童正是因为体验到形式之美、方法之妙，产生一种理智的好奇心，进而激发了对于数学持久的学习动力，而这种动力，较之于外部的激励，其影响更为长远、持久。由此看来，美是一种激励。

有时，由于感受到数学在探索大自然奥秘时所发挥出的巨大威力，使人领悟数学与大自然的和谐、神秘之美，进而激发了人们对于自然之美的神往，增强了探索自然奥秘的信心。由此看来，美是一种召唤。

有时，由于走进奇妙的数学，孩子们就像是面对一幅美丽的风景一样流连忘返，他们欣赏数形的和谐，他们惊异地发现，数学为他们展示了意外的前景并给他们带来欢乐，一种深沉的美感已油然而生。由此看来，美是一种陶醉。

数学中的美还意味着一种灵感和创造。事实上，数学中的许多创造依靠的正是数学中的美感。在这里，真和美得到了和谐完美的统一。正所谓，“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。”由此看来，美也是一种创造。

综上所述，数学教育所要传授的不仅仅是一套概念体系，也不仅仅是一种方法、技术和结论，而是真、善、美的统一体。数学不仅以求真为其使命，而且以臻善、达美为其成果和意境。正如爱因斯坦所说：“从那些看来同直接可见的真理十分不同的各种复杂的现象中认识到它们的统一性,那是一种十分壮丽的感受。”我们期待着和孩子们一道，以一种古典、审美的心怀，循着数学文化的手指，一起分享这种由数学而给我们带来的“壮丽的感受”。